Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Was bedeutet es, sicher eine Überschlagsrechnung durchzuführen?
Während im Mathematikunterricht meistens die genaue Lösung einer Aufgabe ermittelt wird, ist es im Alltag nicht immer nötig, möglich oder sinnvoll das genaue Ergebnis zu berechnen. Insbesondere wenn es schnell gehen muss – wie zum Beispiel im Supermarkt – oder eine genaue Rechnung viel zu umständlich wäre – beispielsweise bei der Berechnung des wöchentlichen Wasserverbrauchs – kann es hilfreich sein, eine Überschlagsrechnung durchzuführen (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 144; Hunke, 2012).
Dabei bezeichnet 'Überschlagen' das Vereinfachen der Ausgangsaufgabe mit dem Ziel, das Ergebnis einer Rechnung mit einer gewissen Näherung zu bestimmen (Lorenz 2005; Götze et al., 2019, S. 144; LeFevre, Greenham & Waheed, 1993, S. 95). Zu den zentralen Charakteristika des Überschlagsrechnens zählen neben der Vereinfachung die Mündlichkeit im Sinne des Kopfrechnens und die Schnelligkeit mit der die Lösung einer Aufgabe näherungsweise bestimmt werden kann (Reys, Rybolt, Bestgen & Wyatt, 1982). Wie weit das Ergebnis einer Überschlagsrechnung von der genauen Lösung einer Aufgabe abweichen darf, ist nicht vorgeschrieben, wird aber meist durch den (Sach-)Kontext der jeweiligen Aufgabe bestimmt.
Überschlagsrechnungen lassen sich dabei in allen vier Grundrechenarten durchführen. Je nach Operation, Aufgabe, Zahlraum und Einheit unterscheiden sich jedoch die Vorgehensweisen, die beim Überschlagsrechnen beobachtet werden können (Hunke, 2012).
Runden
Runden zählt zu den bekanntesten Vorgehensweisen des Überschlagsrechnens und bietet sich insbesondere dann an, wenn hohe Zahlwerte und Zahlen mit vielen Nachkommastellen das Kopfrechnen erschweren. Dabei wird zwischen dem schematischen Runden und dem geschickten Runden unterschieden.
Unter dem schematischen Runden versteht man das Runden nach den konventionellen Rundungsregeln. Dabei wird der Wert der gesamten Zahl verändert, indem Ziffernwerte ab 5 zur nächsthöheren Stelle aufgerundet und bis 4 abgerundet werden.
Beim geschickten Runden ist hingegen kein einheitliches Verfahren vorgeschrieben. Die einzelnen Zahlen der Rechnung werden so verändert, dass Rechenvorteile entstehen. So kann die Aufgabe 33-15 vereinfacht werden, indem z. B. beide Zahlen abgerundet werden. Die Überschlagsrechnung lautet dann 30-10. Auf welche Stelle eine Zahl hierbei sinnvoll gerundet wird, hängt von den Anforderungen der Aufgabenstellung, dem Kontext und der Größe der Zahl ab.
Daneben gibt es weitere Vorgehensweisen, die je nach Aufgabe gewisse Vorteile gegenüber dem Runden haben.
Abbruchverfahren
Beim Abbruchverfahren wird nur mit den führenden Ziffern gerechnet und alle nachfolgenden Stellen werden vernachlässigt bzw. 'abgebrochen' (Götze et al., 2019). Der Vorteil dieses Verfahrens gegenüber dem Runden liegt darin, dass die vereinfachte Rechnung sofort sichtbar ist. Das Verfahren ist daher besonders schnell, führt aber recht häufig zu sehr ungenauen Ergebnissen.
Auf bekannte Aufgaben zurückgreifen
Neben den genannten Vorgehensweisen kann eine Aufgabe auch so vereinfacht werden, dass eine Rechnung entsteht, deren Ergebnis das Kind auswendig verfügbar hat oder das sich leicht im Kopf berechnen lässt. So kann beispielsweise das Ergebnis der Aufgabe 632 geteilt durch 8 näherungsweise durch die Aufgabe 640 geteilt durch 8 bestimmt werden.
Kompensation
In manchen Situationen ist es gefordert, die Ergebnisse des Überschlags durch eine Ausgleichsrechnung zu verfeinern, um zu einem genauen Ergebnis zu kommen. Dann spricht man von 'Kompensation'.
Warum ist es wichtig, Ergebnisse überschlagen zu können?
Überschlagsrechnungen sind vor allem in Alltagssituationen relevant, in denen eine genaue Rechnung zu umständlich wäre. Zum Beispiel bei der Frage, ob das Taschengeld für den Einkauf am Kiosk reicht. Außerdem sind Überschlagsrechnungen wichtig, um die Größenordnung von Ergebnissen, die beispielsweise mit dem Taschenrechner oder Handy ermittelt wurden, zu überprüfen und so mögliche Rechenfehler oder Tippfehler festzustellen.
Im Mathematikunterricht tragen Überschlagsrechnungen dazu bei, das Stellenwertverständnis zu fördern, Kopfrechenstrategien zu entwickeln und tragfähige Zahl- und Größenvorstellungen aufzubauen. Überschlagsrechnen ist somit eng verbunden mit dem Aufbau des Zahlblicks. Dieser umfasst das Wissen und Nutzen von Zahl- und Operationsvorstellungen und ist Voraussetzung für flexibles Rechnen.
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Obwohl beim Überschlagsrechnen die Ausgangsaufgabe vereinfacht wird, ist es nicht zwangsläufig einfach, Ergebnisse näherungsweise zu bestimmen.
So können beim Überschlagsrechnen überschlagsspezifische Fehler entstehen, zum Beispiel durch fehlerhafte Anwendung der Rundungsregeln. Es können aber auch überschlagsunabhängige Fehler entstehen, zum Beispiel wenn sich das Kind verrechnet oder eine Zahl falsch notiert (Götze et al., 2019; Hunke, 2012).
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