Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Was heißt es, Division zu verstehen?
Aus alltäglichen Situationen verfügen die Kinder bereits über erste Vorstellungen zum Teilen. Dabei kommt es in Alltagssituationen vor, dass Kinder Gegenstände aufgrund ihrer Beschaffenheit unterschiedlich werten. Zum Beispiel kann es vorkommen, dass Kinder beim Verteilen von Äpfeln, wenn es um die Anzahl geht, einem großen Apfel einen höheren Wert beimessen als einem kleineren. Es ist wichtig, dass die Kinder ein Verständnis für gerechtes Teilen im mathematischen Sinn entwickeln, also lernen, dass bspw. nicht die Größe der Äpfel entscheidend ist, sondern, dass jedes Kind die gleiche Anzahl an Äpfeln erhält. Insbesondere didaktisches Material, wie z.B. Plättchen, eignet sich zur Verdeutlichung des gerechten Teilens im mathematischen Sinne, da die Elemente stets gleichwertig sind (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 57; Padberg & Benz, 2021, S. 176).
Aus dem Alltag kennen die Kinder auch Situationen, in denen eine Gesamtmenge, zum Beispiel 14 Äpfel auf 3 Kinder, nicht ohne Rest verteilt werden kann. Anknüpfend daran lässt sich die Division mit Rest einführen. In der Mathesprache wird der Rest durch das „R“ in Verbindung mit der übrigbleibenden Menge besonders gekennzeichnet, z.B. R2. Das Dividieren mit Rest ist für das Anbahnen eines allgemeinen Verständnisses von Brüchen und Dezimalzahlen bedeutend (Padberg & Benz, 2021, S. 185 f.).
Um Divisionsaufgaben sicher lösen zu können und ein tragfähiges Verständnis der Division aufzubauen, ist das Vorhandensein von sogenannten Grundvorstellungen, d.h. mentalen Bildern zur Division, die das Geteiltzeichen mit Inhalt füllen, eine wesentliche Voraussetzung. Für die Division werden zwei zentrale Grundvorstellungen unterschieden. Das „Verteilen“ und das „Aufteilen“. Diese Vorstellungen gilt es aufzugreifen und zu festigen sowie zunehmend auszudifferenzieren (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 56 f.).
Aufteilen
Timo hat zwölf Bausteine. Er möchte Dreiertürme bauen. Wie viele Türme kann er bauen?
Gesucht ist die Anzahl der Teilmengen, während die Gesamtmenge und die Gruppengröße gegeben sind.
Verteilen
Auf dem Tisch liegen 12 Bonbons, die Adil an drei Kinder verteilt. Wie viele Bonbons bekommt jedes Kind?
Gesucht ist die Gruppengröße, während die Gesamtmenge und die Anzahl der Teilmengen gegeben sind.
Beide Vorstellungen der Division sind eng mit der Multiplikation - als deren Umkehrung - verknüpft. Die Situation, die das Aufteilen anspricht, lässt sich dementsprechend auch multiplakativ deuten:
Kinder müssen die beiden Grundvorstellungen nicht bewusst unterscheiden, sondern Aufgaben, die diese ansprechen, richtig lösen können. Daher ist es bedeutend, Kinder mit beiden Grundvorstellungen zu konfrontieren (Padberg & Benz, 2021, S. 178 f.).
Wie die anderen Grundrechenarten können auch Divisionsaufgaben unterschiedlich dargestellt werden. Die Fähigkeit zum Wechsel zwischen diesen Darstellungen bildet eine zweite wesentliche Komponente der Entwicklung eines umfassenden Divisionsverständnisses.
Unterschieden werden vier Darstellungsformen, zwischen denen die Kinder flexibel hin- und herübersetzen können sollten:
Für didaktische Bilder mit Plättchen sollte dabei eine Fokussierung auf die Aufteilvorstellung erfolgen. Die Gesamtzahl der Plättchen gibt die Gesamtzahl der Objekte wieder. Die Zahl, durch die geteilt werden soll, gibt die Größe jeder Gruppe an. Und das Ergebnis entspricht der Anzahl der Gruppen.
Bei der Malreihe wird ebenfalls die Vorstellung des Aufteilens aktiviert. Die erste Zahl gibt die Gesamtzahl der Schritte wieder. Die Zahl, durch die geteilt werden soll, gibt die Größe der Sprünge an, die ausgehend von der Gesamtzahl rückwärts gemacht werden. Und das Ergebnis entspricht der Anzahl der Sprünge.
Hinweis : Analog zur Malreihe kann der Zahlenstrahl verwendet werden. Hier werden ähnliche Vorstellungen aktiviert.
Warum ist es wichtig, die Division zu verstehen?
Um flexibel und sicher Divisionsaufgaben zu lösen, ist es nicht ausreichend, wenn Kinder diese nur automatisiert wiedergeben können. Es sind differenzierte und umfassende Vorstellungen notwendig, um in verschiedenen Kontexten Aufgaben als Divisionssaufgaben zu deuten. Wenn Kinder über ausgeprägte Grundvorstellungen verfügen, flexibel zwischen Darstellungsformen hin- und herübersetzen können, Beziehungen zwischen Aufgaben sowie den engen Zusammenhang zur Multiplikation wahrnehmen und nutzen, haben sie die nötigen Grundlagen, um die Division sicher und flexibel anwenden zu können (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 43).
Aufbauend auf der Grundlage eines tragfähigen Verständnisses der Division kann die Ausbildung der halbschriftlichen Rechenstrategien und des schriftlichen Divisionsverfahrens sowie das Dividieren mit größeren Zahlen verständig erfolgen. Auch über die Grundschule hinaus sind diese Vorstellungen grundlegend für das Dividieren mit Brüchen und Dezimalzahlen.
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Vor allem das Formulieren einer Rechengeschichte zu einem vorgegebenen Term kann für viele Kinder eine besondere Herausforderung darstellen. Es kommt bspw. vor, dass eine Rechengeschichte formuliert wird, die nicht zur Division passt, sondern evtl. eine andere Grundrechenart anspricht. Es ist ebenfalls möglich, dass einzelne Angaben, z.B. die erste oder zweite Zahl der Aufgabe, nicht definiert werden (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 57 f.).
Um einen verständnisbasierten Darstellungswechsel zu ermöglichen, ist es wichtig, gemeinsam mit den Kindern zu reflektieren, welche Informationen gegeben sein müssen, damit eine Rechengeschichte gelöst werden kann. Aiko erfindet eine passende Situation zur Division. Mit ihr sollte reflektiert werden, dass nicht nur die Gesamtmenge der Äpfel, sondern auch die Anzahl der Freunde, auf die die Äpfel verteilt werden, für das Lösen der Rechengeschichte wichtig sind.
Ida definiert die einzelnen Elemente. Mit ihr sollte reflektiert werden, worauf beim Schreiben einer Rechengeschichte geachtet werden muss, damit diese zur vorgegebenen Aufgabe passt. Dazu bietet es sich an, die Grundvorstellungen der Division zu thematisieren (Götze, Selter & Zannetin, 2019 S. 57 f.).
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