Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.

Was heißt es, Multiplikation zu verstehen?

Bereits vor Thematisierung der Multiplikation im Unterricht haben manche Kinder erste Vorstellungen davon, was multiplizieren bedeutet, nämlich dass z. B. etwas wiederholt ausgeführt wird. Solche Grundvorstellungen – d. h. mentale Bilder zur Multiplikation, die das Malzeichen mit Inhalt füllen – bilden eine wesentliche Voraussetzung für ein tragfähiges Verständnis der Multiplikation. Diese Vorstellungen der Kinder gilt es daher aufzugreifen und zu verfestigen sowie zunehmend auszudifferenzieren (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 52).

Für die Multiplikation werden drei zentrale Grundvorstellungen unterschieden. Das „Wiederholen“ als zwar alltagsnahe, aber dennoch nicht sehr tragfähige Vorstellung (Prediger, 2020) das „Zusammenfassen“ und das „Vergleichen“.

Illustration Wiederholen. Ein Kind steht vor einer Ablage, auf der 3 Stapel mit jeweils 4 Büchern liegen.

Wiederholen

Anna holt alle ihre Bücher. Dafür geht sie dreimal in ihr Zimmer. Jedes Mal trägt sie vier Bücher. Wie viele Bücher holt sie insgesamt?

Tätigkeiten gleichen Umfangs werden wiederholt ausgeführt (zeitlich-sukzessiv).

Illustration Zusammenfassen. Ein Kind steht neben einer Kiste mit 3 mal 4 Flaschen.

Zusammenfassen

In einer Getränkekiste sind drei Reihen mit jeweils vier Flaschen. Wie viele Flaschen sind es insgesamt?

Anzahlen gleicher Größe werden gruppiert und deren Gesamtzahl ermittelt (räumlich-simultan).

Illustration Vergleichen. Zwei Kinder stehen sich an einem Tisch gegenüber. Vor dem Kind links liegen 4 Kastanien in einer Reihe, vor dem Kind rechts liegen 3 mal 4 Kastanien.

Vergleichen

Jan hat vier Kastanien gesammelt. Maren hat dreimal so viele Kastanien gesammelt. Wie viele Kastanien hat Maren?

Zwischen Anzahlen oder Größen werden multiplikative Vergleiche hergestellt.

Als zweite wesentliche Komponente bei der Entwicklung eines umfassenden Multiplikationsverständnisses ist die Fähigkeit zum Wechsel zwischen Darstellungen zu nennen. Diese zeigt sich darin, „zwischen […] verschiedenen ‚Sprachen‘ hin- und herübersetzen zu können, also Verbindungen herstellen zu können zwischen konkreten, häufig in Alltagssprache beschriebenen, (Alltags-)Situationen und mathematischen Symbolen und Rechenoperationen“ (Gerster & Schultz, 2004, S. 388).

Unterschieden werden vier Darstellungsformen, zwischen denen Kinder immer wieder flexibel hin- und herübersetzen sollten:

Schaubild  zur Vernetzung der 4 verschiedenen Darstellungsebenen. Rundherum Beispiele der entsprechenden Darstellungsebene zur Aufgabe „3 mal 4 = 12“. Links oben „Mathesprache“, daneben „3 mal 4 = 12“. Rechts oben „Bilder“, daneben Rechenstrich mit 3 Vierersprüngen bis zur 12 und ein Bild von 2 Kindern die 3 Haufen mit je 4 Bonbons gemacht haben. Links unten „Sprache“, daneben 2 Sprechblasen: „Ich mache 3 Vierersprünge am Zahlenstrahl.“ Darunter „Ich lege dreimal vier Plättchen in eine Reihe.“ Rechts unten „Handlungen“, daneben ein Bild von einem Tisch mit 4 grünen, 4 violetten und 4 roten Bonbons und eine Hand, die 3 mal 4 Plättchen legt.  Alle 4 Aspekte sind mit wechselseitigen Pfeilen miteinander verbunden.

Eine dritte wichtige Voraussetzung für ein umfassendes Verständnis der Multiplikation zeigt sich darin, Beziehungen zwischen Aufgaben erkennen, nutzen und beschreiben zu können, z. B. die Lösung der Aufgabe 8•7 über die Ableitung der leichteren Teilaufgabe 7•7 (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 55). Auf diese zahlreichen Beziehungen und Strukturen wird genauer im Modul „Sicher im 1•1“ eingegangen.

Warum ist es wichtig, die Multiplikation zu verstehen?

Es ist nicht ausreichend, wenn Multiplikationsaufgaben nur automatisiert wiedergegeben werden können, denn Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist es, Kinder dazu zu befähigen, flexibel und sicher zu rechnen.

Denn es sind differenzierte und umfassende Vorstellungen notwendig, um in verschiedenen Kontexten Aufgaben als Multiplikationsaufgaben zu deuten oder um Multiplikationsaufgaben voneinander abzuleiten, indem sie in Beziehung gesetzt werden (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 43).

Grundlegend sind diese Vorstellungen auch für das Multiplizieren mit größeren Zahlen, Brüchen oder Dezimalzahlen wichtig. Insbesondere die Einsicht, Multiplikationsaufgaben als das Zählen in Bündeln bzw. das Bilden gleichgroßer Gruppen deuten zu können, ist dabei zentral (Prediger, 2020). Dafür muss gemeinsam mit den Kinder die Konvention erarbeitet werden, dass die erste Zahl in einer Malaufgabe angibt, wie viele gleichgroße Gruppen vorliegen und die zweite Zahl beschreibt, wie groß diese Gruppen sind: Z. B. drei Vierersprünge an einem Zahlenstrahl, drei Viererreihen in einem Punktefeld, drei Vierergruppen von Bonbons oder kurz "drei Vierer" für die Aufgabe 3•4 (Prediger, 2020).

Drei Ausschnitte zur Aufgabe „3 mal 4“. Ausschnitt 1: Zahlenstrahl von 0 bis 12, in den 3 Bögen um jeweils 4 Einheiten eingezeichnet sind. Ausschnitt 2: 3 Reihen mit jeweils 4 Plättchen. Ausschnitt 3: Zwei Kinder verteilen 4 Bonbons auf 3 Haufen.

Welche Schwierigkeiten können auftreten?

Gleichwohl der Darstellungswechsel absolut grundlegend für den Aufbau eines tragfähigen Multiplikationsverständnisses ist, lassen sich dabei auch einige Schwierigkeiten beobachten. So fokussieren die Kinder bei der Multiplikation beim Wechsel von einer Darstellung in eine andere häufig unterschiedliche Kriterien (Kuhnke, 2013, S. 265). Für sie passen dann beispielsweise zwei Darstellungen gut zusammen, wenn 1) beide Darstellungen dasselbe Ergebnis haben, 2) in beiden Darstellungen einzelne Elemente gleichermaßen vorkommen (z. B. einzelne Zahlen oder das Operationszeichen) oder 3) in beiden Darstellungen dieselbe Relation zu finden ist (z. B. alle Darstellungen, in die sich etwa "drei Vierer" hineindeuten lassen, unabhängig von der eigentlichen Anordnung) (Kuhnke, 2013, S. 265).

Zu 1) Das Kind ordnet hier der Multiplikationsaufgabe 2•4 ein Bild mit ingesamt acht nebeneinander liegenden Stickern zu. Es fokussiert hier lediglich auf das dasselbe Ergebnis (Kuhnke, 2013, S. 166f) und lässt eine Anordnung wie zwei Vierergruppen von Stickern o. ä. vollkommen außer Acht:

„Fokussierung auf dasselbe Ergebnis“: Aufgabe „2 mal 4“, 8 nebeneinanderliegende Dinosticker. Sprechblase: „Das passt zusammen, das ist beides 8.“

Zu 2) Das Kind legt zur Multiplikationsaufgabe 2•4 zwei rote Bonbons, ein grünes Bonbon und vier rote Bonbons nebeneinander und fokussiert dabei nur einzelne Elemente (Kuhnke, 2013, S. 172) wie hier auf den ersten Faktor 2, das Malzeichen und den zweiten Faktor 4 . Die Abbildung von zwei Viergruppen oder das Ergebnis der Aufgabe werden beispielsweise nicht beachtet:

„Fokussierung auf einzelne Elemente“: Aufgabe „2 mal 4“, 2 rote Bonbons, ein grünes Bonbon, 4 blaue Bonbons. Sprechblase: „Das passt zusammen. Das grüne Bonbon ist das Malzeichen.“

Zu 3) Das Kind betrachtet eine Plättchenreihe mit fünf blauen Plättchen und drei roten Plättchen als passend zur Multiplikationsaufgabe 2•4 und fokussiert demnach lediglich auf dieselbe Relation (Kuhnke, 2013, S. 180ff), obwohl die Anordnung und Farbgebung der Plättchen hier eher auf die Aufgabe 5+3 hindeuten:

„Fokussierung auf dieselbe Relation“: Aufgabe „2 mal 4“, 5 blaue und 3 rote Plättchen. Sprechblase: „Das passt. Das sind 4 und nochmal 4 Plättchen“.

Für ein tragfähiges Multiplikationsverständnis ist es demnach nicht nur wichtig, verschiedenste Darstellungswechsel anzuregen, sondern mit den Kindern auch immer wieder darüber ins Gespräch zu kommen, warum eine Darstellung für sie passt, um Fehler oder zu einseitige Fokussierungen beim Darstellungswechsel zu thematisieren .

Diagnoseaufgaben

Mit den folgenden Diagnoseaufgaben können die grundlegenden Kompetenzen dieses Themas überprüft werden.

Mit welchen anderen Themen hängt dieses Modul zusammen?

Weiterführende Informationen