Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Was heißt es, die Aufgaben des Zehnereinmaleins und Zehnereinsdurcheins sicher zu beherrschen?
Die Aufgaben des Zehnereinmaleins umfassen die Aufgaben des kleinen Einmaleins, bei denen einer der beiden Faktoren verzehnfacht wird. So wird z. B. aus der Aufgabe 3·5=15 durch die Verzehnfachung des ersten Faktors die Aufgabe 30·5=150 oder durch die Verzehnfachung des zweiten Faktors die Aufgabe 3·50=150. Das Zehnereinmaleins schließt also an die Aufgaben des kleinen Einmaleins an (Wittmann & Müller, 2018, S. 139).
Da die Division die Umkehrung der Multiplikation darstellt, lassen sich aus jeder Aufgabe des Zehnereinmaleins die Ergebnisse von Zehnereinsdurcheinsaufgaben ableiten (Wittmann & Müller, 2018, S. 143). Aus dem oben aufgeführten Beispiel der Zehnereinmaleinsaufgabe 3·50=150 kann die Umkehraufgabe 150:50=3 gebildet werden. Gleiches gilt für die Umkehrung der Aufgabe 30·5=150 zu der Zehnereinsdurcheinsaufgabe 150:5=30.
Eine wichtige Voraussetzung für das Erlernen des Zehnereinmaleins und Zehnereinsdurcheins ist das sichere und schnelle Abrufen der Ergebnisse des Einmaleins und Einsdurcheins. Dabei ist das Nutzen von Analogien des kleinen Einmaleins und Einsdurcheins eine tragfähige Strategie zum Lösen von Aufgaben des Zehnereinmaleins und -einsdurcheins. Dafür sollte eine Vorstellung zum Rechnen mit einem neuen Stellenwert, zum Beispiel über den Zusammenhang einer Einmaleinsaufgabe und der passenden Zehnereinmaleinsaufgabe, aufgebaut werden.
Dieser Zusammenhang zwischen einer Einmaleins- und einer Zehnereinmaleinsaufgabe kann durch eine Darstellung mit Plättchen verdeutlicht werden. Um zur Aufgabe 2·4=8 die entsprechende Zehnereinmaleinsaufgabe 2·40=80 darzustellen, muss der zweite Faktor der Aufgabe, hier die 4, verzehnfacht werden. Innerhalb der Darstellung wird dementsprechend in jeder der zwei Reihen für jeden der vier Einer ein Zehner gelegt. Jeder Einer wird also um einen Stellenwert, hin zu einem Zehner, vergrößert.
Die Aufgabe 2·4 des kleinen Einmaleins kann also bei der Aufgabe 2·40 des Zehnereinmaleins helfen. Denn es fällt auf, „dass die Ergebnisse nichts anderes sind als das Zehnfache der entsprechenden Einmaleinsaufgaben“ (Wittmann & Müller, 2018, S. 139). In der Darstellung ist erkennbar, dass 2·4 Zehner gerechnet werden, was insgesamt 8 Zehner, also 80 sind.
Die Umkehraufgabe 80:40=2 lässt sich ebenfalls am Punktefeld darstellen - z. B. durch das Einkreisen zweier 40er Gruppen.
Um einen Vorstellungsaufbau zu fördern, bietet sich als weitere mögliche Darstellung der Rechenstrich an. Dadurch, dass auf diesem keine festgelegten Maßstäbe abgebildet werden, können auch große Aufgaben dargestellt werden. Genauer wird dies im Modul Zahlen darstellen für den Zahlraum bis 1.000 erläutert.
Durch die Darstellung der Aufgabe 8:4=2 am Rechenstrich kann verdeutlicht werden, dass die 4 genau zweimal in die 8 passt. Um die entsprechende Aufgabe 80:40=2 des Zehnereinsdurcheins darzustellen, müssen, neben der Verzehnfachung von 8 zu 80, nun die Sprungweiten verzehnfacht werden, denn ein Sprung hat nun nicht mehr die Länge 4, sondern 40. Die 80 lässt sich mit zwei Vierzigersprüngen restlos ausmessen. Da sich sowohl der Divisor als auch der Dividend bei der Aufgabe 80:40=2 verzehnfacht hat, kann das Ergebnis aus dem Ergebnis der Aufgabe 8:4=2 des kleinen Einsdurcheins leicht abgeleitet werden.
Diese lineare Darstellung am Rechenstrich kann ebenso auch für die Verdeutlichung der Aufgabe 2·40=80 genutzt werden.
Warum ist es wichtig, die Aufgaben des Zehnereinmaleins und Zehnereinsdurcheins sicher zu beherrschen?
Das Zehnereinmaleins und -einsdurcheins ist eine wichtige Voraussetzung für den weiteren Mathematikunterricht. Das Erlernen der halbschriftlichen Multiplikation und Division baut beispielsweise auf dem Zehnereinmaleins auf, da dabei auf die gesicherten Aufgaben des Zehnereinmaleins und -einsdurcheins zurückgegriffen werden kann, um Ergebnisse hilfreicher Teilaufgaben zu ermitteln.
Für das erfolgreiche Lösen von Aufgaben des großen Einmaleins und Einsdurcheins sowie darauf aufbauend für das schriftliche Multiplizieren und Dividieren ist das sichere Zerlegen der Faktoren einer Multiplikationsaufgabe in ihre Stellenwerte eine wichtige Voraussetzung.
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Wichtig ist, dass für die Erarbeitung des Zehnereinmaleins und -einsdurcheins das kleine Einmaleins und Einsdurcheins vollständig gesichert ist und dessen Aufgaben automatisiert sind. Dem Kind einen „Merksatz“ im Sinne von „einfach eine Null hinzufügen oder wegstreichen“ zu vermitteln, führt langfristig zu einer nicht tragfähigen Strategie, da damit keine Vorstellung darüber aufgebaut wird, wie das Rechnen mit einem höheren Stellenwert funktioniert und abgeleitet werden kann. Daraus kann beispielsweise in den höheren Schuljahren ein unsicherer Umgang mit Dezimalzahlen folgen (Radatz, Schipper, Dröge & Ebeling, 1999, S. 96). Wichtig sind daher Erläuterungen, die sich auf die Veränderung des Stellenwertes beziehen, um so zu erklären, wieso eine Null hinzugefügt oder weggenommen wird. Dabei kann das Kind, zum Beispiel bei der Multiplikation, darauf eingehen, dass sich die Verzehnfachung eines Faktors auch auf das Produkt auswirkt, welches dadurch ebenfalls verzehnfacht wird.
Mit welchen anderen Themen hängt dieses Modul zusammen?
