Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Was heißt es, die 1•1 Aufgaben sicher zu beherrschen?
Die Aufgaben des kleinen Einmaleins umfassen alle Multiplikationsaufgaben, die aus zwei Faktoren bestehen, die jeweils zwischen 0 und 10 liegen. Die Aufgaben mit 0 stellen aufgrund ihres Ergebnisses 0 einen Sonderfall dar, weshalb der Erarbeitung dieser Aufgaben gesonderte Aufmerksamkeit geschenkt werden sollte (Padberg & Benz, 2011, S. 148). In Übersichten von Einmaleins-Aufgaben werden deshalb meist nur Aufgaben mit den Faktoren von 1 bis 10 aufgeführt. Etwa bis Mitte des dritten Schuljahres sollen alle Aufgaben des kleinen Einmaleins automatisiert abrufbar sein.
„Um das Einmaleins auch langfristig automatisieren zu können, brauchen die Kinder ein Wissensnetz, wie die Aufgaben zusammenhängen, denn je stärker eine Aufgabe mit anderen Aufgaben vernetzt abgespeichert wird, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie jederzeit wieder abgerufen werden kann“ (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 77). Deshalb ist es keine sinnvolle Strategie, die Aufgaben isoliert voneinander als Einzelfakten auswendig zu lernen. Da die Aufgaben des kleinen Einmaleins nicht alle gleich schwierig sind, bietet es sich stattdessen an, die einfachen Aufgaben zu nutzen, um sich daraus die Ergebnisse der schwierigeren Aufgaben zu erschließen.
Die einfachen Aufgaben, auch Kernaufgaben genannt, sind diejenigen, die sich Kinder meist frühzeitig merken können. Daher können diese als Grundlage für die Erarbeitung weiterer Aufgaben genutzt werden (Padberg & Benz, 2011, S. 142). Zu den Kernaufgaben des kleinen Einmaleins gehören die Aufgaben mit 1, 2, 5 und 10 als jeweils erstem Faktor. Werden Aufgaben dieser Kernaufgaben-Familien mit Material, beispielsweise am Hunderterfeld, visualisiert, kann die Struktur der Aufgaben aufgezeigt und somit thematisiert werden, warum sie vergleichsweise einfach zu merken sind.
Bei Aufgaben mit der Struktur 1•__ wird dann erkenntlich, dass das Ergebnis immer dem zweiten Faktor der Multiplikationsaufgabe entspricht.
Aufgaben mit 2 als erstem Faktor sind deshalb für Kinder einfach, weil sie bereits aus dem ersten Schuljahr mit dem Verdoppeln von Zahlen im Zwanzigerraum vertraut sind. Die Multiplikationsaufgaben mit 2•__, beispielsweise 2•7, entsprechen also den bekannten Verdopplungsaufgaben, in diesem Fall 7+7.
Die Aufgaben mit 10 als erstem Faktor sind für Kinder schnell auswendig abrufbar, weil bei diesen Aufgaben, wenn sie am Hunderterfeld dargestellt werden, in einer Spalte immer genau zehn Punkte sichtbar sind. Da das Kind bereits in Zehnerschritten zählen können sollte, sollte es sich durch die Darstellung am Hunderterfeld das Ergebnis der Aufgabe erschließen können.
Aufgaben mit der Struktur 5•__ sind ebenfalls vergleichsweise einfach, wenn ihr Zusammenhang zu den Aufgaben mit 10 genutzt wird. Betrachtet man die Aufgabe 10•6, so entspricht dies zehn Sechsern. 5•6 sind fünf Sechser, also genau die Hälfte von 10•6, von zehn Sechsern. Das Ergebnis der Aufgabe mit 10 muss also halbiert werden. Mit dem Halbieren von glatten Zehnerzahlen im Hunderterraum sollten die Kinder zu dem Zeitpunkt des Erlernens des Einmaleins vertraut sein.
Bisweilen werden neben den Aufgaben mit 1, 2, 5 und 10 auch Quadratzahlaufgaben zu den Kernaufgaben gezählt (Padberg & Benz, 2011, S. 142). Zu diesen Aufgaben gehören Aufgaben, deren Faktoren gleich sind, also beispielsweise 4•4 oder 6•6. Quadratzahlaufgaben sind an sich allerdings keine einfachen Aufgaben. Es hat sich aber gezeigt, dass Kinder diese Aufgaben oft frühzeitig auswendig abrufen können.
Da bei der Multiplikation Aufgaben und ihre Tauschaufgaben dasselbe Ergebnis haben, können auch Ergebnisse von Aufgaben mit 1, 2, 5 und 10 als zweitem Faktor vergleichsweise schnell ermittelt werden. Haben Kinder ein Verständnis dafür entwickelt, dass das Nutzen von Tauschaufgaben bei allen Multiplikationsaufgaben möglich ist, können sie dieses Wissen nutzen, um sich Ergebnisse von weiteren Aufgaben zu erschließen, deren Tauschaufgabe sie bereits auswendig wissen (Padberg & Benz, 2011, S. 135).
Eine grundlegende Strategie zum Lösen schwierigerer Multiplikationsaufgaben ist, sich die Ergebnisse aus Kernaufgaben abzuleiten. Dazu muss das Verständnis entwickelt werden, dass einer der Faktoren der Multiplikationsaufgabe zerlegt werden kann. Die Aufgabe 6•8 kann also beispielsweise gelöst werden, indem die Ergebnisse der Kernaufgaben 5•8 und 1•8 addiert werden. Ebenso ist es möglich, dass die Aufgabe 9•6 gelöst wird, indem von 10•6=60 ein Sechser, also 1•6, subtrahiert wird. Um diese Strategie nutzen zu können, müssen die Kinder die Ergebnisse aller Kernaufgaben auswendig abrufen können sowie im Hunderterraum sicher addieren und subtrahieren können.
Grundsätzlich kann der Faktor einer schwierigeren Aufgabe nicht nur so zerlegt werden, dass Kernaufgaben entstehen, sondern es ist ebenso möglich, dass andere, bereits auswendig gewusste Aufgaben dafür genutzt werden. Denn welche Aufgaben ein Kind leicht findet, kann individuell unterschiedlich sein. Wichtig ist, dass ein grundlegendes Verständnis für die Strategie entwickelt wird, dass schwierigere Aufgaben aus leichteren Aufgaben abgeleitet werden können und wie dabei vorgegangen werden muss.
Um sicher im Einmaleins zu sein, ist es also erforderlich, ein Wissensnetz aus auswendig gelernten Aufgaben und Ableitungsstrategien aufzubauen, damit Kinder sich dadurch weitere Aufgaben erschließen können (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 63).
Warum ist es wichtig, die 1•1 Aufgaben sicher zu beherrschen?
Für das Lösen von Multiplikationsaufgaben im größeren Zahlenraum und für das schriftliche Multiplizieren ist es erforderlich, dass alle Aufgaben des kleinen Einmaleins sicher beherrscht werden (Padberg & Benz, 2011, S. 138).
Die hierbei erworbenen Strategien, wie Aufgaben abgeleitet werden können, sind auch in größeren Zahlräumen wichtig. Beispielsweise sollte das Ergebnis einer Aufgabe wie 14•8 nicht automatisiert verfügbar sein. Aber zur Ermittlung des Ergebnisses kann auf die Einmaleins-Aufgaben 10•8 und 4•8 zurückgegriffen werden. Dafür ist das Wissen notwendig, dass die Aufgabe 14•8 also in zwei bereits bekannte Aufgaben zerlegt werden kann, damit man das Ergebnis erhält.
Außerdem ist es wichtig, sicher im Einmaleins zu sein, weil es für die Division eine wichtige Strategie ist, Aufgaben durch das Nutzen ihrer Umkehraufgabe, also mithilfe einer Multiplikationsaufgabe, zu lösen (Padberg & Benz, 2011, S. 138). Eine Aufgabe wie 36:9 wird daher häufig durch das Zurückgreifen auf die Umkehraufgabe 9•4 = 36 gelöst.
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Für die Strategie, Aufgaben in Kernaufgaben zu zerlegen, wird in der Regel der erste Faktor der Multiplikationsaufgabe zerlegt. Grundsätzlich ist es auch möglich, den zweiten Faktor der Aufgabe zu zerlegen (Padberg & Benz, 2011, S. 141). Dabei ist zu beachten, dass bei der Zerlegung des zweiten Faktors nicht die Anzahl, sondern die Größe der Gruppe verändert wird, wie beispielsweise an der Aufgabe 7•6 aufgezeigt werden kann. Die Aufgabe 7•6 steht für sieben Sechser. Wenn nun der zweite Faktor 6 zerlegt wird in 5 und 1, dann erhält man die Aufgaben 7•5 und 7•1. Diese entsprechen sieben Fünfern und sieben Einern. Werden diese beiden Aufgaben also zusammengefügt, erhält man insgesamt sieben Sechser. Dieses Vorgehen ist genauso möglich wie das Zerlegen des ersten Faktors, aber für die Vorstellung der Kinder meist schwieriger.
Beim Abrufen der Ergebnisse von Multiplikationsaufgaben mit 0 kommt es häufig zu Schwierigkeiten. Denn erst wenn das Kind ein Verständnis dafür aufgebaut hat, was es bedeutet, etwas „mal 0“ zu nehmen, fällt es den Kindern leicht, das Ergebnis schnell zu benennen (Gaidoschik, 2014, S. 98).
Mit welchen anderen Themen hängt dieses Modul zusammen?
Weiterführende Informationen
Weitere Anregungen
