Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Was heißt es, die 1:1 Aufgaben sicher zu beherrschen?
Die Division ist eng verknüpft mit der Multiplikation, da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist (Wittmann & Müller, 2017, S. 238). Die Aufgaben des kleinen Einsdurcheins umfassen somit die Umkehraufgaben des kleinen Einmaleins. So ist z.B. die Umkehraufgabe zur Malaufgabe 4•8=32 die Geteiltaufgabe 32:8=4. Bei der Aufgabe 4•8=32 stellt sich die Frage, wie viel vier Achter sind – nämlich 32. Bei der dazugehörigen Geteiltaufgabe stellt sich die Frage, wie viele Achter in die 32 passen – nämlich vier. Das funktioniert auch in die andere Richtung: die Umkehraufgabe zu einer Geteiltaufgabe ist dann die entsprechende Malaufgabe. Eine Aufgabe und deren dazugehörige Umkehraufgabe setzen sich aus den jeweils drei gleichen Zahlen zusammen, einem sogenannten Zahlentripel.
Der enge Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division kann für die Bearbeitung und das Erschließen der Ergebnisse von Divisionsaufgaben genutzt werden (Padberg & Benz, 2011, S. 161). „Wenn der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division verstanden ist und die Lösungen von Einmaleinsaufgaben als Faktenwissen abgerufen werden können, dann können die Divisionsaufgaben als Umkehrungen der Multiplikationsaufgaben gelöst werden“ (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 116). Dazu werden die Umkehraufgaben genutzt.
Ausgehend von einer Divisionsaufgabe kann somit die Überlegung angestellt werden, wie häufig man die zweite Zahl malnehmen muss, um die erste Zahl, die Gesamtmenge, zu erhalten.
Für die Lösung der exemplarischen Aufgabe 32:8 kann somit die Multiplikation herangezogen werden, indem auf die Einmaleinsaufgabe 4•8 zurückgegriffen wird. Es wird überlegt, wie häufig man die zweite Zahl, in diesem Fall 8, malnehmen muss, um die Gesamtmenge 32 zu erhalten. Hier ist dann das bereits gefestigte Zahlentripel aus dem Einmaleins von Bedeutung, welches aus den Zahlen 4, 8 und 32 gebildet wird. Dieses kann dem Kind dabei helfen, schnell zu ermitteln, dass die 8 viermal mal genommen werden muss, um 32 zu erhalten. An Punktefeldern kann der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division aufgezeigt werden.
Haben Kinder den Zusammenhang zwischen Multiplikations- und Divisionsaufgabe einmal verstanden, können auf diese Weise routiniert die Ergebnisse von Divisionsaufgaben des kleinen Einsdurcheins erschlossen werden. Die Erarbeitung und Festigung des Verständnisses der Multiplikation sollte also dem Erlernen des kleinen Einsdurcheins vorausgegangen sein (Padberg & Benz, 2011, S. 152).
Bei der Division ist es, wie auch bei den anderen Grundrechenarten, möglich zwischen einfachen und schwierigeren Aufgaben zu unterscheiden (Padberg & Benz, 2011, S. 162). Die einfachen Aufgaben, auch Kernaufgaben genannt, stellen dabei die Aufgaben dar, deren Ergebnisse Kinder bereits früh auswendig abrufen können. Diese Aufgaben können dann genutzt werden, um sich daraus die Ergebnisse schwierigerer Divisionsaufgaben abzuleiten.
Zu den Kernaufgaben des kleinen Einsdurcheins gehören die Aufgaben mit dem Ergebnis 1, 2, 5 oder 10 (Padberg & Benz, 2011, S. 162). Auch hier wird der enge Zusammenhang zur Multiplikation deutlich, da diese Aufgaben die Umkehraufgaben zu den Kernaufgaben der Multiplikation sind (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 116). Die Kernaufgaben der Division weisen unterschiedliche Besonderheiten auf, die ein schnelles Verinnerlichen dieser Aufgaben und der dazugehörigen Ergebnisse ermöglichen.
Somit ist zu erkennen, dass in Divisionsaufgaben, die das Ergebnis 1 aufweisen, die erste und zweite Zahl der Divisionsaufgabe dieselbe ist.
Bei Aufgaben mit 2 als Ergebnis ist die erste Zahl genau das Doppelte der zweiten Zahl.
Die Divisionsaufgaben mit dem Ergebnis 10 kennzeichnet, dass die erste Zahl der Aufgabe genau das Zehnfache der zweiten Zahl ist. Beispielweise ergibt die Aufgabe 40:4 das Ergebnis 10.
Auch die Aufgaben mit 5 als Ergebnis können sich Kinder häufig leicht merken. Denn diese Aufgaben sind die Umkehrungen der 5 • __Kernaufgaben der Multiplikation, welche bereits automatisiert worden und dadurch als Umkehraufgaben schnell abrufbar sind.
Diese einfachen Aufgaben können genutzt werden, um sich daraus die Ergebnisse von schwierigeren Divisionsaufgaben abzuleiten. Dafür sollten die Kernaufgaben sicher auswendig beherrscht oder blitzschnell von den Umkehraufgaben der Multiplikation abgeleitet werden. Eine Strategie zum Lösen schwierigerer Aufgaben ist also, sich aus den schwierigeren Divisionsaufgaben einfachere Teilaufgaben zu bilden. Zu diesem Zweck muss ein Verständnis dafür aufgebaut werden, dass die erste Zahl einer Geteiltaufgabe zerlegt werden kann, wodurch zwei einfachere Teilaufgaben entstehen. Diese einfacheren Teilaufgaben können als Hilfsaufgaben zur Lösung der Ausgangsaufgabe genutzt werden (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 84).
Die Aufgabe 28:4 kann beispielsweise durch die Zerlegung in die zwei bereits bekannten Aufgaben 20:4 und 8:4 gelöst werden. Da die Gesamtmenge 28 in die Teilmengen 20 und 8 zerlegt wurde, müssen die schnell zu erschließenden Teilergebnisse 5 und 2 anschließend miteinander addiert werden.
Auch die Aufgabe 27:3 kann durch das Ableiten und Nutzen einer Kernaufgabe gelöst werden. Dafür bietet sich die Aufgabe 30:3 an. Hier wird die erste Zahl der Divisionsaufgabe nun nicht zerlegt, sondern so vergrößert, dass ein geeignetes Vielfaches der zweiten Zahl entsteht. Denn 30 kann in 10 Dreier aufgeteilt werden. Da 27 jedoch einen Dreier weniger beinhaltet als 30, muss von den 10 Dreiern ein Dreier abgezogen werden. 27 lässt sich also in 9 Dreier aufteilen.
Um sicher im Einsdurcheins zu sein und Zerlegungsstrategien verständnisbasiert anwenden zu können, ist es wichtig, sicher im Einmaleins zu sein.
Auch muss sicher im Hunderterraum addiert und subtrahiert werden können. Außerdem ist es grundlegend, dass die Kinder einen Blick dafür entwickeln, wie sie die erste Zahl der Divisionsaufgabe geschickt zerlegen können, um die schwierigere Aufgabe durch das Nutzen von Kernaufgaben geschickt lösen zu können (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 117).
Das Zerlegen von schwierigeren Aufgaben in andere Aufgaben als die Kernaufgaben ist ebenso möglich, da es von Kind zu Kind unterschiedlich ist, welche Aufgaben es als einfach empfindet. Von Bedeutung ist, dass die Strategie des Ableitens und die Zuhilfenahme von einfacheren Aufgaben als Vorgehen verständig angewendet wird.
Warum ist es wichtig, die 1:1 Aufgaben sicher zu beherrschen?
Für das Lösen von Divisionsaufgaben im größeren Zahlenraum und für das schriftliche Dividieren ist es erforderlich, dass alle Aufgaben des kleinen Einsdurcheins sicher beherrscht werden. Das Kind sollte also in der Lage sein, die Aufgaben des Einsdurcheins auswendig abzurufen oder blitzschnell aus den passenden Umkehrungen der Einmaleinsaufgaben abzuleiten (Schipper, Ebeling & Dröge, 2018, S. 65).
Des Weiteren ist es wichtig, dass die Kinder Wissen darüber aufbauen, dass eine Divisionsaufgabe in Hilfsaufgaben zerlegt werden kann. Diese grundlegende Strategie hilft auch, im größeren Zahlenraum Divisionsaufgaben zu lösen.
Daher ist es wichtig, mit dem Erlernen des Einsdurcheins ein Verständnis für diese Strategie zu entwickeln, damit diese im weiteren Verlauf des Mathematiklernens verständnisbasiert und flexibel angewendet werden kann.
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
„Die besondere Herausforderung beim Lösen von Divisionsaufgaben über Zerlegen und Zusammensetzen ist ein gut entwickelter Zahlenblick“ (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 117). Die zu zerlegende Zahl muss als Zusammensetzung von zwei Zahlen begriffen und erkannt werden. Erst so kann beispielsweise die Gesamtmenge 28 der Divisionsaufgabe 28:4 in 20 und 8 zerlegt werden, sodass die beiden Kernaufgaben 20:4 und 8:4 entstehen. Dafür ist es wichtig, dass für die Zerlegung nicht beliebige Zahlen gewählt werden, sondern dass die erste Zahl in zwei Zahlen zerlegt wird, die Vielfache der zweiten Zahl sind – also in der jeweiligen Einmaleinsreihe vorkommen. Hier wurde die 28 in 20 und 8 zerlegt. Diese Zerlegung ist geeignet, da sowohl 20 als auch 8 sich restlos durch 4 teilen lassen. Das Kind muss also auch erkennen bzw. einen Blick dafür entwickeln, welche Zerlegung geeignet ist.
Wichtig ist ebenfalls, dass bei der Nutzung der Strategie des Ableitens durch Erweitern der Gesamtmenge beachtet wird, dass die Zwischenergebnisse voneinander subtrahiert und nicht, wie beim obigen Beispiel, addiert werden (Götze, Selter & Zannetin, 2019, S. 87).
Die Null stellt, wie auch bei der Multiplikation, bei der Division eine mögliche Fehlerquelle dar. Somit sollten Divisionsaufgaben, in denen die erste oder die zweite Zahl 0 ist, mit besonderer Sorgfalt behandelt werden (Padberg & Benz, 2011, S.163).
Mit dem Kind sollte anhand einer alltäglichen Situation thematisiert werden, dass beispielsweise 9 Äpfel nicht auf keine Personen aufgeteilt werden können, die Aufgabe 9:0 also keine Lösung hat. Werden 0 Äpfel auf beispielsweise 9 Personen verteilt, so erhält jede Person 0 Äpfel und das Ergebnis der Aufgabe 0:9 ist 0. Erst wenn ein Verständnis dafür entwickelt wurde, was die Division mit Null bedeutet, können Kinder das Ergebnis sicher und schnell bestimmen.
Das Nutzen der Multiplikation zur Bearbeitung von Divisionsaufgaben ist durch „das Herleiten der Divisionsaufgaben von bekannten Einmaleinsaufgaben (Umkehraufgaben) und den Kernaufgaben der Division“ (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 118) ein hilfreiches Verfahren. Es sollte jedoch darauf geachtet werden, dass das Dividieren nicht über das Aufsagen der Einmaleinsreihen vorgenommen wird, da dies viel Zeit in Anspruch nimmt und sehr fehleranfällig ist (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 118).
Mit welchen anderen Themen hängt dieses Modul zusammen?
Weiterführende Informationen
Weitere Anregungen
