Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Was heißt es, Zahlen vergleichen und ordnen zu können?
Wenn danach gefragt wird, ob eine Zahl größer bzw. kleiner als eine andere ist, oder ob sie gleich groß sind, müssen die zwei Zahlen zueinander in Beziehung gesetzt werden. Denn je nachdem, welche Zahlen miteinander verglichen werden, kann eine Zahl dabei mal „kleiner als“ und in einem anderen Vergleich „größer als“ eine andere Zahl sein.
Dabei können die Zahlen zum einen als Anzahlen verglichen werden und zum anderen als Positionen in der Zahlreihe wahrgenommen werden.
Zahlen kardinal deuten - Vergleichen
Werden Zahlen als Anzahlen verstanden – also unter dem kardinalen Aspekt gedeutet – können sie unter der Vorstellung verglichen werden, ob eine Anzahl mehr oder weniger Elemente hat als eine andere. Denn eine Anzahl ist größer als eine andere, wenn sie mehr Elemente hat, und sie ist kleiner als eine andere, wenn sie weniger Elemente hat. Gleich groß sind sie, wenn sie gleich viele Elemente haben. Sollen Anzahlen verglichen werden, können diese, anknüpfend an das Material aus dem 20er-Raum, dafür zum Beispiel mit Zehnerstreifen und Plättchen dargestellt werden.
Um die Anzahlen dann mithilfe des Materials zu vergleichen, ist es von zentraler Bedeutung, die Strukturen des Materials wahrzunehmen und zu nutzen. Denn durch eine strukturierte Darstellung der Anzahlen ist schnell zu erfassen, welche Anzahl gegenüber einer anderen größer ist (also z.B. zwei Plättchen mehr hat) oder eben kleiner ist (also z.B. einen Zehnerstreifen weniger hat). Auch durch das Wahrnehmen der Strukturen lässt sich schnell erkennen, um wie viele Elemente genau sich die Anzahlen unterscheiden. Kinder sollten stets dazu aufgefordert werden, diese Strukturen zur Begründung ihrer Vergleiche hinzuzuziehen.
Diese Materialhandlungen sind auch im erweiterten Zahlraum wichtig, um die bereits aufgebauten Vorstellungen zum Vergleichen von Zahlen zu übertragen und zu festigen. Ziel ist es - zunächst parallel zur Materialhandlung - zunehmend auch auf symbolischer Ebene Zahlen zu vergleichen und dabei die Relationszeichen „größer als“, „kleiner als“ und „gleich“ zu nutzen. Dabei sollten dann nicht nur einzelne Zahlen, sondern auch Aufgaben oder Terme zueinander in Beziehung gesetzt und ihre Relation bestimmt werden.
Zahlen ordinal deuten - Ordnen
Zahlen können aber ebenso ordinal - also als Positionen in der Zahlreihe - wahrgenommen werden. Unter dieser Vorstellung von Zahlen hat das „Ordnen“ eine zentrale Bedeutung für die Orientierung im Zahlraum bis 100. Denn anhand der Position einer Zahl in der Zahlreihe lässt sich erkennen, ob sie größer oder kleiner als eine andere ist. Liegt eine Zahl in der Reihe vor der anderen, so ist sie kleiner, liegt sie hinter der anderen, so ist sie größer als die gegebene Zahl. Diese Einsichten haben die Kinder sich bereits in der Auseinandersetzung mit der Zwanzigerreihe erarbeitet und können diese nun auf den Zahlenstrahl (bis 100) oder auf den sogenannten Rechenstrich übertragen.
Sollen Zahlen am Zahlenstrahl – z.B. unter Einsatz von Zahlenkarten - angeordnet werden, sind auch die Strukturen des Zahlenstrahls für die Kinder bedeutsam. Denn sind auf dem Zahlenstrahl bereits Start-, Mittel- und/oder Endpunkte sowie weitere Orientierungszahlen eingetragen, können diese helfen, die Zahlen zunächst „grob“ und dann zunehmend „genau“ einzuordnen, indem die Zahlen zueinander in Beziehung gesetzt werden. Diese Strukturen müssen zum zentralen Gesprächsgegenstand werden und sollen von den Kindern zur Begründung der Einordnung von Zahlen hinzugezogen werden.
Warum ist es wichtig, Zahlen vergleichen zu können?
Über Vergleiche zwischen Zahlen und das In-Beziehung-Setzen von Zahlen wird ein tragfähiges Zahlverständnis aufgebaut. Dies ist elementar, um sich auch in den erweiterten Zahlräumen orientieren und Rechenoperationen ausführen und verstehen zu können.
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Die verschiedenen Darstellungen, die beim Vergleichen und Ordnen von Zahlen zum Einsatz kommen, sollen zwar als Lernhilfe fungieren, bedeuten aber ebenso Lernstoff für die Kinder. Folglich ist es wichtig, dass diese zuvor sorgfältig erarbeitet werden. Dies kann gelingen, indem die bereits bekannten Darstellungen aus dem vorherigen Zahlraum in Beziehung zu den „neuen Darstellungen“ gesetzt werden, um gemeinsame Strukturen zu erkennen.
Zudem fällt es den Kindern häufig schwer, den Vorgänger-Zehner zu berechnen. Hier überspringen sie häufig einen Zehner und benennen beispielsweise die 30 anstelle der 40 für den Vorgänger-Zehner der 47. Um diesem Fehler entgegenzuwirken, können Sie dem Kind zu Beginn einen Zahlenstrahl vorlegen und gemeinsam besprechen, zwischen welchen beiden glatten Zehnern die Zahl liegt.
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