Die folgenden Ausführungen sind eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.

Was heißt es, die Aufgaben des Stelleneinmaleins und Stelleneinsdurcheins sicher zu beherrschen?

Zu den Aufgaben des Stelleneinmaleins gehören zwei unterschiedliche Aufgabentypen. Zum einen sind es Aufgaben des kleinen Einmaleins, bei denen nur einer der beiden Faktoren mit 100, 1.000, 10.000 usw., multipliziert wird. Ein Beispiel ist hier die Aufgabe 3·500=1.500. Zum anderen werden Aufgaben zum Stelleneinmaleins gezählt, bei denen beide Faktoren mit 10, 100, 1.000 usw. multipliziert werden, beispielsweise 300·50=15.000.

Die Aufgaben des Stelleneinsdurcheins umfassen die Umkehraufgaben des Stelleneinmaleins und leiten sich von diesen ab. Aus dem oben aufgeführten Beispiel der Stelleneinmaleins-Aufgabe 300·50=15.000 kann somit die Umkehraufgabe 15.000:50=300 abgeleitet werden.

Abbildung zur Verknüpfung von Multiplikation und Division. Erste Zeile: „kleines Einmaleins“. Daneben zweimal: „3 mal 5 = 15“. Links: Unter der 5: „mal 100, mal 1000, mal 10000“. Rechts unter der 5 und unter der 3: „mal 10, mal 100, mal 1000“. Zweite Zeile: „Stelleneinmaleins“, „3 mal 500 = 1500“, „30 mal 500 = 15000“. Darunter: „Umkehrung“. Dritte Zeile: „Stelleneinsdurcheins“. Daneben: „1500 geteilt durch 500 = 3“, „15000 geteilt durch 500 = 30“.

Das sichere Beherrschen und schnelle Abrufen der Aufgaben des kleinen Einmaleins und Einsdurcheins stellen dabei u.a. eine wichtige Voraussetzung dar, um die Aufgaben des Stelleneinmaleins und Stelleneinsdurcheins erfolgreich berechnen zu können (Schipper, Ebeling & Dröge, 2018, S.65).

 

Für das Lösen von einer Aufgabe des Stelleneinmaleins kann auf das kleine Einmaleins zurückgegriffen werden (Padberg, 2009, S.266). Denn wenn das Kind die Lösung zur Aufgabe 3·8 kennt, kann es dieses Wissen nutzen, um die Aufgabe 300·8 zu berechnen. Dem Kind muss bewusst sein, dass bei der Ausgangsaufgabe 300·8 der erste Faktor, die 3, verhundertfacht ist. Diese Verhundertfachung muss nun auch auf das Ergebnis von 3·8=24 übertragen werden. Um dies zu verdeutlichen kann die Stellentafel hinzugezogen werden (Padberg, 2009, S.296). Jede Multiplikation mit Zehn kann in der Stellentafel mit einer Verschiebung der Ziffern um eine Position nach links deutlich gemacht werden. Die Ziffern des Ergebnisses müssen in der Stellentafel für eine Verhundertfachung also um zwei Positionen nach links verschoben werden – 3·800 sind 2.400.

Illustration eines Kindes. Kasten links neben dem Kind: „3 mal 8 = 24. Pfeil von 3 zu 300 mit Beschriftung Mal 100. 300 mal 8 = 2400“. Stellenwerttafel rechts von dem Kind: E = 4, Z = 2. Verschiebung um 2 Spalten nach links: E = 0, Z = 0, H = 4, T = 2. Sprechblase: „Drei wurde verhundertfacht, also muss auch 100 mal 24 gerechnet werden.“

Bei Aufgaben des Stelleneinmaleins, bei denen beide Faktoren verzehnfacht, verhundertfacht, usw. werden, kann ähnlich vorgegangen werden. Denn auch bei der Aufgabe 300·80 kann auf die Aufgabe 3·8 des kleinen Einmaleins zurückgegriffen werden. Das Ergebnis 24 muss nun ebenfalls entsprechend der Verhundertfachung des ersten Faktors und der Verzehnfachung des zweiten Faktors in der Stellentafel verschoben werden. Somit werden die Ziffern der 24 in einem ersten Schritt aufgrund der Verhundertfachung des ersten Faktors um zwei Positionen nach links verschoben, sodass nun das Zwischenprodukt 2.400 aus der Stellentafel ablesbar ist. In einem nächsten Schritt wird dieses nochmal um einen weiteren Stellenwert nach links verschoben, um die Verzehnfachung des zweiten Faktors zu berücksichtigen. So wird das Ergebnis der Aufgabe 300·80=24.000 in der Stellentafel ablesbar.

Die Stelleneinsdurcheins-Aufgaben können ebenfalls mit Hilfe der Stellentafel und mit Rückgriff auf das kleine Einmaleins gelöst werden. Zum Errechnen der Aufgabe 2.400:8 kann sich in einem ersten Schritt der Dividend angeschaut werden. Dieser ist eine Verhundertfachung der 24, sodass die 24 in der Stellentafel um zwei Positionen nach links verschoben wurde. Wird nun 2.400 durch 8 geteilt, so muss auch der Quotient entsprechend um zwei Positionen in der Stellentafel nach links gerückt werden. 2.400:8 sind also 300.

Eine weitere Möglichkeit Stelleneinsdurcheins-Aufgaben zu lösen, ist die Nutzung der Umkehraufgaben. Zum Lösen der Aufgabe kann auf die Zehnereinmaleins-Aufgabe 3·800=2.400 (bzw. auf die Aufgabe 3·8=24 des kleinen Einmaleins) zurückgegriffen werden.

Illustration eines Kindes. Kasten links neben dem Kind: „24 geteilt durch _ = 3. Pfeil mit Beschriftung Mal 100 von 24 zu 2400. 2400 geteilt durch 8 = 300“. Stellenwerttafel rechts von dem Kind: E = 3. Verschiebung um 2 Spalten nach links: E = 0, Z = 0, H = 3. Sprechblase: „24 wurde verhundertfacht, also muss auch 100 mal 3 gerechnet werden.“

Sind bei Aufgaben des Stelleneinsdurcheins Dividend und Divisor verzehnfacht, verhundertfacht usw., so ist ein weiteres mögliches Vorgehen schrittweise zu dividieren (Padberg, 2009, S.296). Die Aufgabe 2.400:80 kann geschickt gelöst werden, indem sie in einem ersten Schritt durch 10 dividiert wird. So entsteht die einfachere Aufgabe 240:8.

Ein Sonderfall bei der Division liegt vor, wenn eine gleiche Vervielfachung des Dividenden und des Divisors gegeben ist, beispielsweise bei der Aufgabe 240:60. Beim Rückgriff auf die Aufgabe 24:6=4 des kleinen Einsdurcheins werden der Dividend und der Divisor gleichsinnig verändert, in diesem Fall durch 10 dividiert. Das Ergebnis bleibt dann also unverändert. Hier muss ein Verständnis aufgebaut werden, dass nachträglich keine Veränderung der Stellenwerte mehr vorgenommen werden muss, da dies sonst eine mögliche Fehlerquelle darstellen kann.

Links: „Schrittweise dividieren“ Darunter: „240 geteilt durch 40 = 6. 200 geteilt durch 40 = 5. 40 geteilt durch 40 = 1“. Rechts: „gleichsinnig verändern“. Darunter: „240 geteilt durch 60 = 4. 2 Pfeile mit Beschriftung geteilt durch 10. 24 geteilt durch 6 = 4“.

Warum ist es wichtig, die Aufgaben des Zehnereinmaleins und Zehnereinsdurcheins sicher zu beherrschen?

Das verständnisbasierte Erlernen des halbschriftlichen Rechnens im Zahlraum bis zu einer Million baut auf einem sicheren Umgang mit Aufgaben des Stelleneinmaleins und -einsdurcheins sowie dem damit eng verknüpften Aufbau eines fundierten Stellenwertverständnisses auf.

Auch für das überschlagende Rechnen stellt das Heranziehen von Aufgaben des Stelleneinmaleins und Stelleneinsdurcheins eine häufig genutzte Strategie dar. Beispielsweise kann das Produkt der Aufgabe 297•3 näherungsweise durch Rückgriff auf die Aufgabe 300•3 bestimmt werden.

Welche Schwierigkeiten können auftreten?

Von besonderer Bedeutung bei der Erarbeitung des Stelleneinmaleins und Stelleneinsdurcheins ist, dass Kinder ein Verständnis davon aufbauen, dass es sich um das Rechnen in anderen Stellenwerten handelt. Denn häufig sprechen Kinder im Zusammenhang dieser Aufgaben vom Dranhängen beziehungsweise Wegstreichen von Nullen. Dies ist jedoch keine tragfähige Vorstellung und aus diesem Grund fehleranfällig (Schipper, Ebeling & Dröge, 2018, S.67). Dies kann besonders bei Rechnungen im hohen Zahlraum zu Unsicherheiten führen (Scherer & Moser Opitz, 2010, S.120).

Regen Sie das Kind deshalb dazu an, zu erklären, was es bedeutet, wenn die Zahlen einer Aufgabe verzehnfacht, verhundertfacht usw. werden. Dafür stellt die Stellentafel eine mögliche Unterstützungshilfe dar.

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