Grundlagen
Die folgenden Ausführungen sind im Wesentlichen eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Unter Material sind alle Objekte zu verstehen, mit denen Kinder im Mathematikunterricht handeln können, um Mathematik besser verstehen zu können, indem das Material sie bei ihrer Entwicklung eines Zahl- und Operationsverständnisses unterstützt (Kaufmann, 2015, S. 4; Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 40). Es spielt beim Mathematiklernen aller Kinder eine wichtige Rolle, da es nicht nur beim Rechnen eine Unterstützung darstellt, sondern im Allgemeinen das mathematische Denken jedes Kindes anregt und fördert (Dimartino, 2015, S. 12).
Strukturiertes und unstrukturiertes Material
Manche Materialien weisen eine Struktur im Sinne einer Einteilung in z. B. 5er- oder 10er-Bündel auf, während andere keine besondere Struktur besitzen.
Mithilfe unstrukturierter Materialien können Zahlen durch einzelne Objekte dargestellt werden. So lässt sich z. B. die Zahl 7 durch sieben Wendeplättchen oder sieben Kastanien abbilden. Zudem bieten unstrukturierte Materialien Zählanlässe, die notwendig für die Entwicklung eines grundlegenden Zahlverständnisses sind. Weiterhin regen sie zum Ordnen, Bündeln oder Legen von Mustern an (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 41 ff.).
Auch wenn der Einsatz von Material letztlich auf das Ablösen des Alles-Zählens ausgerichtet ist (Schipper, 2005, S. 44), bleibt der Erwerb von Zählfähigkeiten eine wichtige Fertigkeit, die im Umgang mit Materialien gestärkt werden soll (Hasemann & Gasteiger, 2014, S. 109; Kaufmann, 2015, S. 4). Daher sind in den ersten Schulwochen unstrukturierte Materialien hilfreich, um bei den Kindern ein Verständnis dafür zu entwickeln, wie wichtig Strukturen sind. Besonders empfehlenswert ist es daher, solchen Materialien durch die Verwendung von zwei Farben oder durch kleine Lücken eine 5er- bzw. eine 10er-Struktur zu verleihen. Bei Materialien, die eine Struktur aufweisen, ist eine solche Ordnung bereits gegeben (Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 42 ff.).
Einsatzmöglichkeiten von Material
Der Einsatz von Material spielt eine wichtige Rolle bei der Entwicklung des Zahlverständnisses (Krauthausen, 2018, S. 327 f.). So können Kinder Materialien nutzen, um Zahlen auf verschiedene Weisen darzustellen (Rottmann, 2012, S. 10). Dadurch können nach und nach Vorstellungsbilder im Kopf aufgebaut werden.
Auch bei dem Aufbau des Operationsverständnisses ist der Einsatz von Material wichtig (Krauthausen, 2018, S. 328 f.), da es die Handlungen hinter Rechenoperationen veranschaulicht (Kaufmann, 2015, S. 4). Es kann zum einen genutzt werden, um selbst konkrete Rechenoperationen durchzuführen, eigene Rechenwege zu finden und Rechenstrategien zu erproben. Zum anderen können mithilfe von Material bspw. Rechenoperationen für andere verdeutlicht und nachvollziehbar gemacht werden.
Material eignet sich auch, um mathematische Gesetzmäßigkeiten zu veranschaulichen und zu erklären (Krauthausen, 2018, S. 329 ff.). So lässt sich bspw. anhand von Material gut verdeutlichen, dass die Summe zweier ungerader Zahlen immer gerade ist. Ungerade Zahlen lassen sich z. B. durch zwei Plättchenreihen darstellen, von denen eine Reihe um ein Plättchen länger ist als die andere. Zwei solcher Darstellungen können so aneinandergefügt werden, dass zwei gleichlange Plättchenreihen entstehen. Dies entspricht der Darstellung einer geraden Zahl.
Worauf zu achten ist
Die folgenden Ausführungen sind im Wesentlichen eine schriftliche Zusammenfassung der im Video dargestellten Inhalte.
Zunächst müssen Kinder lernen, wie sie mit Material umgehen sollten, damit es beim Lernen helfen kann. Materialien stellen für Kinder daher auch immer einen Lernstoff dar (Käpnick, 2014, S. 156; Söbbeke & Steinbring, 2007, S. 67). Insbesondere eignen sich daher Materialien, die dem Kind bereits aus der Schule bekannt sind. Einige Materialien bauen dabei aufeinander auf, sodass Kinder z. B. die Struktur des Zehnerstreifens auf das Zwanzigerfeld und dann auch auf das Hunderterfeld übertragen können.
Der sinnvolle Gebrauch eines Materials setzt das Verständnis für dessen Funktionen und Strukturen voraus (Kaufmann, 2016, S. 5; Schipper, Ebeling & Dröge, 2015, S. 45). Sind einem Kind die Strukturen des Hunderterfeldes nicht bekannt, muss es jedes Plättchen abzählen, um eine dargestellte Zahl zu erkennen. Ist die Struktur des Feldes hingegen verstanden worden, können dargestellte Zahlen mithilfe dieser Struktur gezielter und schneller gesehen werden (Schipper, 2005, S. 37).
Natürlich ist das Ziel, dass Kinder flexibel ohne Material rechnen können. Daher sollen sie sich zunehmend von der konkreten Verwendung des Materials lösen, wenn sich bei ihnen durch dessen Gebrauch Vorstellungsbilder gefestigt haben (Kaufmann, 2015, S. 7). Die Beschreibung dieses Ablöseprozesses wird in Anlehnung an das Vierphasenmodell von Wartha und Schulz (2014) vorgenommen:
Zunächst ist es notwendig, dass Kinder ausreichend Gelegenheiten bekommen haben, Erfahrungen im konkreten Umgang mit dem jeweiligen Material zu sammeln (Söbbeke & Steinbring, 2007, S. 64). Hierzu sollten die durchgeführten Materialhandlungen auch immer durch sprachliche Beschreibungen des Kindes begleitet werden (Wartha & Schulz, 2014, S. 63).
Erst dann sollte das Kind nach und nach dazu angeregt werden, Handlungen am Material zu beschreiben, ohne sie wirklich auszuführen. Das Kind muss sich dazu die Handlung also vorstellen. Es soll beschreiben, welche Handlungen es am Material durchführen würde. Indem diese beschriebenen Handlungen von einer anderen Person parallel dazu am Material vorgenommen werden, kann das Kind überprüfen, ob seine beschriebenen Handlungen zielführend sind (Wartha & Schulz, 2014, S. 63).
Ein nächster Schritt besteht darin, das Kind Materialhandlungen beschreiben zu lassen, ohne dass es das Material sehen kann (Wartha & Schulz, 2014, S. 63 f.).
Abschließend wird auf einen handelnden Umgang mit Material verzichtet, indem das Kind Rechenaufgaben nur mit Zahlsymbolen löst. Die hierfür nötigen Materialhandlungen stellt es sich nur noch mental vor (Wartha & Schulz, 2014, S. 63).
Zentraler Bestandteil dieses Ablöseprozesses vom Material stellt die sprachliche Begleitung durchgeführter oder vorgestellter Materialhandlungen dar. Sie ist daher von besonderer Bedeutung im Umgang mit Materialien (Hasemann & Gasteiger, 2014, S. 109). Die Versprachlichung von Handlungen unterstützt das Nachvollziehen und Verinnerlichen dieser, sodass sie dem Kind bewusster werden und daher sukzessive rein mental durchgeführt werden können (Gutmann & Kick, 2011, S. 24; Schipper, 2005, S. 50). Dennoch kann es nötig sein, zwischen den einzelnen Phasen zu wechseln und den Kindern immer die Möglichkeit zu bieten, auf Material zurückgreifen zu können.
Wichtig ist also nicht allein die Handlung am Material, sondern immer auch das Nachdenken und Sprechen darüber. Das Ziel besteht darin, dass Kinder eine Aufgabe zwar ohne Material lösen können, diese aber grundsätzlich auch noch mit Hilfe von Material darstellen könnten (Kaufmann, 2015, S. 6).
Weiterführende Informationen
Übersicht über gebräuchliche Materialien im Mathematikunterricht
Nachfolgend finden Sie eine Übersicht über gebräuchliche Materialien im Mathematikunterricht der Grundschule mit Informationen dazu, ob bzw. wie das Material strukturiert ist, wofür sich welches Material besonders gut eignet und an welchen Stellen es Grenzen aufzeigt. Zudem erhalten Sie wichtige Hinweise, worauf Sie beim Einsatz des Materials besonders achten sollten.
Alltagsmaterialien (z.B. Kastanien oder Spielfiguren)
Materialstruktur:
-
keine direkte Struktur
-
Anzahl der Einzelelemente repräsentiert eine bestimmte Menge
Dafür eignet sich das Material:
-
Mengen (ab)zählen
-
Muster legen
-
große Anzahlen ordnen
-
Mengen in beliebig große Teilmengen bündeln (z. B. 2er-/5er-/10er-Bündel)
So wird es richtig eingesetzt:
Prozesse des Bündelns/Ordnens/Sortierens sollten bewusst angeregt werden, z. B.:
-
„Lege die Kastanien so hin, dass man möglichst schnell erkennen kann, wie viele es sind.“
-
„Lege immer 2 (oder 5/10) Kastanien zusammen.“
-
„Lege ein Muster aus den bunten Spielfiguren.“
Hier zeigt es Grenzen:
-
Dem Material liegt keine Strukturierung zugrunde, die die Kinder dabei unterstützt, sich vom zählenden Rechnen zu lösen und eignet sich daher nur bedingt, um nicht zählende Rechenstrategien zu entwickeln.
-
Alltagsmaterialien sind nicht „homogen“. Z. B. sind Äpfel unterschiedlich groß oder Gummibärchen haben unterschiedliche Farben, weshalb sie für Kinder auch oft eine andere „Wertigkeit“ haben. Vermeintlich gleich große Mengen von Alltagsmaterialien („Jedes Kind bekommt 7 Gummibärchen.“) sind dann für die Kinder oft eben nicht gleich „groß“, da diese für sie nicht gleich viel wert sind. Beim Rechnen mit Alltagsmaterialien (wie bspw. bei der Division) kann das hinderlich sein kann.
Darauf sollten Sie sonst noch achten:
Insbesondere in der KiTa und zu Beginn der Schuleingangsphase sind diese Materialien für Erfahrungen im Bereich der o. g. Tätigkeiten sehr wichtig. Danach sollten aber vornehmlich strukturierte Materialien genutzt werden, um mathematische Strukturen aufzuzeigen und zu nutzen und damit zählendes Rechnen abzulösen.
Alltagsmaterialien
Steckwürfel
Materialstruktur:
-
keine direkte Struktur
-
Anzahl der Einzelelemente repräsentiert eine bestimmte Menge.
-
Durch bewusstes Auswählen von Farben und Zusammenstecken von Würfeln können Strukturen erzeugt werden.
Dafür eignet sich das Material:
-
freies Bauen
-
Mengen (ab)zählen
-
Muster legen
-
große Anzahlen ordnen
-
Mengen in beliebig große Teilmengen bündeln (z. B. 2er-/5er-/10er-Bündel)
-
Multiplikationsaufgaben darstellen (durch mehrfaches Zusammenstecken einer bestimmten Anzahl an Würfeln, z. B. drei 7er-Stangen, um die Aufgabe 3•7 darzustellen)
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Zahlen zerlegen (durch Auseinanderbrechen einer bestimmten Anzahl zusammengesteckter Würfel und/oder durch Zusammenstecken einer bestimmten Würfelanzahl in zwei Farben)
So wird es richtig eingesetzt:
-
Prozesse des Bündelns/Ordnens/Sortierens sollten bewusst angeregt werden, z. B. „Lege die Würfel so hin/Stecke die Würfel so zusammen, dass man möglichst schnell erkennen kann, wie viele es sind.“
-
Um Zerlegungen einer Zahl darzustellen, sollten zur besseren Unterscheidung der beiden Summanden Steckwürfel in zwei Farben verwendet werden.
Hier zeigt es Grenzen:
Das Material kann zählendes Rechnen durch Abzählen der einzelnen Elemente begünstigen.
Darauf sollten Sie sonst noch achten:
Um Strukturen zu erzeugen, sollten nicht zu viele verschiedene Farben verwendet werden.
Steckwürfel
Hände
Materialstruktur:
„natürliche“ 5er-Bündelung durch fünf Finger an jeder Hand
Dafür eignet sich das Material:
-
Zahlen strukturiert darstellen und erfassen
-
10 zerlegen
-
bis 10 ergänzen
So wird es richtig eingesetzt:
-
Kinder sollen ihre Hände stets offen (und nicht heimlich) zum Rechnen benutzen dürfen.
-
Um Kinder vom zählenden Rechnen abzulösen (z. B. wenn für die Aufgabe 5+2 zunächst nacheinander fünf Finger einzeln gehoben werden und danach einzeln zwei weitere Finger folgen), ist es wichtig immer wieder den Vorteil der „natürlichen“ 5er-Bündelung zu thematisieren und zu nutzen, z. B.: „Zeig mir auf einen Schlag sieben Finger. Wie siehst du ganz schnell, dass es sieben Finger sind?", „Fünf Finger an der einen Hand und noch zwei an der anderen.“
Hier zeigt es Grenzen:
-
Wenn die Strukturen nicht immer wieder thematisiert werden, werden die einzelnen Finger (häufig auch heimlich) abgezählt, so dass zählendes Rechnen begünstigt wird.
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Das „Material“ ist nicht fortführbar, also nicht auf größere Zahlenräume anwendbar. Sobald der Zahlenraum bis 10 überschritten wird, sollten die Finger durch didaktische Materialien (wie z. B. das Zwanzigerfeld, den Rechenrahmen oder Blockmaterial) ersetzt werden.
Hände
Zehner-, Zwanzigerfeld mit Plättchen
Materialstruktur:
-
10 bzw. 20 leere Felder
-
10 Felder in einer Reihe
-
jede Reihe ist in zwei Hälften unterteilt, so dass die 5er-Bündelung schnell und klar zu erkennen ist („Kraft der Fünf“)
-
ggf. Streifen vorbereiten, auf denen fünf Plättchen abgebildet sind (5er-Streifen)
Dafür eignet sich das Material:
-
Zahlen bis 10 bzw. 20 strukturiert darstellen und erfassen
-
Additions- und Subtraktionsaufgaben darstellen
So wird es richtig eingesetzt:
-
Plättchen sollten links beginnend und direkt nebeneinander in die Felder (ohne Lücken) gelegt werden (siehe obige Abbildung).
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Die Zweifarbigkeit der Plättchen sowie die innewohnende Struktur des Streifens/Feldes sollten thematisiert und genutzt werden, um die strukturierte Darstellung zu unterstützen.
-
Um das einzelne Abzählen von Plättchen zu umgehen, können ggf. 5er-Streifen (vorgefertigte Streifen mit fünf abgebildeten Plättchen) anstatt fünf einzelner Plättchen verwendet werden.
Hier zeigt es Grenzen:
Das Material kann zählendes Rechnen durch Abzählen der einzelnen Plättchen begünstigen.
Darauf sollten Sie sonst noch achten:
-
Neben dem Feld mit einzelnen Plättchen bzw. 5er-Streifen können auch vorgefertigte Plättchendarstellungen im Feld genutzt werden (z. B. für Übungen wie Zahlen schnell sehen).
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Kinder können auch Zahlen oder Additions- und Subtraktionsaufgaben in leere Zehner- bzw. Zwanzigerfelder durch Anmalen von Plättchen einzeichnen.
-
Das Material ist auch in höheren Zahlenräumen gut durch ein Hunderterfeld oder ein Tausenderbuch fortführbar. Ähnliche Strukturen sollten hier dann unbedingt aufgegriffen und genutzt werden.
Zehner- und Zwanzigerfeld mit Plättchen
Zwanziger-Rechenkette
Materialstruktur:
-
insgesamt 20 Perlen
-
nach 5 Perlen wechselt die Farbe, sodass die 5er-Bündelung schnell und klar zu erkennen ist („Kraft der Fünf“)
Dafür eignet sich das Material:
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Zahlen bis 20 strukturiert erfassen und darstellen
-
Zahlen bis 20 zerlegen
-
bis 20 ergänzen
So wird es richtig eingesetzt:
Die Struktur der Rechenkette (siehe oben) muss immer wieder explizit thematisiert und genutzt werden, z. B.:
„Wie siehst du ganz schnell, dass es 13 Perlen sind? Erkläre.“
„Bis zur 20 fehlen nur noch 2 und 5, also 7 Perlen. Darum sind es 13 Perlen.“
Hier zeigt es Grenzen:
Das Material eignet sich nur bedingt zum Rechnen und Darstellen von Additions- und Subtraktionsaufgaben, da sich die zweite Zahl einer Aufgabe (2. Summand oder Subtrahend) nicht strukturiert darstellen lässt und somit stets zählend hinzufügt bzw. weggenommen werden muss.
Darauf sollten Sie sonst noch achten:
Wenn (zusammen mit den Kindern) selbst eine Rechenkette angefertigt wird, sollte dabei unbedingt auf die Struktur geachtet werden: zwei Farben für Perlen verwenden, immer fünf Perlen in einer Farbe, dann Farbe tauschen.
20er-Rechenkette
Zwanziger- und Hunderter-Rechenrahmen
Materialstruktur:
-
insgesamt 20 bzw. 100 Perlen
-
in jeder Reihe sind 10 Perlen (Zehner)
-
nach 5 Perlen wechselt die Farbe, wodurch man die Anzahl 5 klar und schnell erkennen kann („Kraft der Fünf“)
Dafür eignet sich das Material:
-
Zahlen bis 20 bzw. 100 strukturiert darstellen und erfassen
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Additions- und Subtraktionsstrategien veranschaulichen
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im Zahlenraum bis 20 (v. a. das schrittweise Rechnen über die 10)
-
im Zahlenraum bis 100 für die Aufgabentypen: Z ± Z (z. B. 20+30, 60–20); Z ± E (z. B. 50+7, 40–6); ZE ± E ohne Zehnerüberschreitung (z. B. 32+4, 45–3); ZE ± E mit Zehnerüberschreitung (schrittweises Rechnen über die 10 (z. B. 53+8, 75–7)
So wird es richtig eingesetzt:
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Startzahlen (z. B. Summand oder Minuend) werden nach links geschoben:
-
Für die Aufgabe 43–8, werden bspw. erst vier volle Zehner nach links, dann in der nächsten Reihe noch drei Einer nach links geschoben, danach werden acht Einer wieder weggenommen.
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5er/10er (also eine halbe/ganze Perlenreihe) stets mit einem Fingerstreich bewegen.
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Kleinere Anzahlen möglichst auf einen Blick erfassen und mit einem Fingerstreich bewegen.
Hier zeigt es Grenzen:
-
Direkte Tauschprozesse (z. B. 10E = 1Z) sind nicht möglich.
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Darstellung von Additions- und Subtraktionsstrategien zu folgenden Aufgabentypen ist schwierig: ZE ± Z (z.B. 34+20, 78–30); ZE ± ZE mit Zehnerüberschreitung (z.B. 45+17, 82–25).
-
Einzelne Perlen können schnell zum Abzählen verleiten, daher sollte immer wieder die Struktur des Rechenrahmens thematisiert und genutzt werden.
Darauf sollten Sie sonst noch achten:
Keine unstrukturierten Rechenrahmen anschaffen (nicht einfarbig oder bunt), sondern darauf achten, dass der Rechenrahmen strukturiert ist, also zwei Farben und eine 5er-Bündelung in jeder Reihe besitzt.
20er- und 100er-Rechenrahmen
Hunderterfeld
Materialstruktur:
-
Feld mit insgesamt 100 abgebildeten Plättchen
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10 Plättchen in einer Zeile
-
10 Plättchen in einer Spalte
-
nach 5 Plättchen wechselt die Farbe, so dass die 5er-Bündelung schnell und klar zu erkennen ist („Kraft der Fünf“)
Dafür eignet sich das Material:
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100 (in gleich große Teilmengen) zerlegen
Durch Abdecken von Plättchen mithilfe eines Winkels
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Zahlen bis 100 strukturiert darstellen und erfassen
-
bis 100 ergänzen
-
Multiplikationsaufgaben darstellen
So wird es richtig eingesetzt:
Die Struktur des Hunderterfeldes (siehe linke Spalte) sollte immer wieder explizit thematisiert und genutzt werden.
„Wie siehst du ganz schnell, dass es 57 Plättchen sind? Erkläre."
„Es sind 5 volle Zehner und dann noch 5 plus 2 Einer, also 7 Einer. Das sind zusammen 57.“
Hier zeigt es Grenzen:
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Das Material eignet sich nur bedingt zum Darstellen von Additions- und Subtraktionsaufgaben.
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Das Material kann zählendes Rechnen durch Abzählen der einzelnen Plättchen begünstigen.
Hunderterfeld
Würfelmaterial
Materialstruktur:
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Einerwürfel
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Zehnerstange (bestehend aus 10E)
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Hunderterplatte (bestehend aus 10Z/100E)
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Tausenderwürfel (bestehend aus 10H/100Z/1000E)
Dafür eignet sich das Material:
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Stellenwertverständnis aufbauen durch deutliche Trennung von Tausender, Hunderter, Zehner und Einer
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Tauschprozesse anregen durch Möglichkeiten des Bündelns und Entbündelns (z. B. 10 Einer = 1 Zehner; 1 Tausender = 10 Hunderter)
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Rechenstrategien für die Addition und Subtraktion nachvollziehen
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Verständnis von schriftlichen Verfahren der Addition und Subtraktion aufbauen
So wird es richtig eingesetzt:
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Das Material sollte stets stellengerecht gelegt werden (links der höchste Stellenwert, rechts der kleinste).
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Tauschprozesse sollten durch sprachliche Begleitung bewusst gemacht werden (tauschen ist kein „Zaubertrick“): „Ich habe hier 10 Einer, die tausche ich in einen Zehner um.“
Hier zeigt es Grenzen:
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Das Material weist keine 5er-Bündelung auf, was die quasi-simultane Anzahlerfassung erschwert.
-
Einerwürfel, Zehnerstangen und Hunderterplatten müssen abgezählt werden, wodurch das zählende Rechnen begünstigt werden kann.
Darauf sollten Sie sonst noch achten:
Für eine abstrahierte Zahldarstellung können (passend zum Material) Zahlenbilder mit Quadraten, Strichen und Punkten gezeichnet werden (s.o.). Dies ist nicht selbsterklärend und bedarf entsprechender Übung.
